Définition (proposition) :
Un élément simple est une fraction de la forme \(\frac P{Q_m}\), où \(m\in{\Bbb N}^\star\) et \(P\) et \(Q\) sont des polynômes, avec \(Q\) irréductible, unitaire et \(\deg(P)\lt \deg(Q)\)
(Polynôme (Degré))
Élément de première espèce : élément simple qui peut s'écrire $$\frac\lambda{(X-a)^m}$$où \((\lambda,a)\in{\Bbb K}^\star\times{\Bbb K}\) et \(m\in{\Bbb N}^\star\)
Élément de seconde espèce : élément simple pouvant s'écrire sous la forme $$\frac{\mu X+\delta}{(X^2+bX+c)^m}$$
Où \(\mu,\delta,b,c\) sont des réels vérifiant \(b^2-4ac\lt 0\) et \(m\in{\Bbb N}^\star\)
(Discriminant du deuxième degré)
Dans \({\Bbb C}\), tous les éléments simples sont des éléments simples de première espèce
(Nombre complexe)
Définition (proposition) :
Les éléments simples dans \({\Bbb R}\) sont de deux types :
1. Les éléments de première espèce
2. les éléments de seconde espèce
(Réel - Nombre réel)
Pour décomposer \(F=\frac PQ\) en éléments simples, on opère en trois étapes :
1. On détermine la partie entière de \(F\). Cela permet de écrire \(F\) sous la forme : $$F=E+G\quad\text{ avec }\quad E\in{\Bbb K[X]}\text{ et }\deg(G)\lt 0$$
2. On décompose \(G\) en produits de facteurs unitaires, irréductibles
3. On écrit la forme de la décomposition de \(G\). On calcule ensuite les coefficients de celle-ci
(Division euclidienne (Polynômes), Polynôme unitaire - Polynôme normalisé, Polynôme irréductible)
Théorème de décomposition en éléments simples dans \({\Bbb C}(X)\) :
Soit \(F=\frac PQ\in{\Bbb C}(X)\) avec \(\operatorname{pgcd}(P,Q)=1\) et supposons que la décomposition du polynôme \(Q\) en facteurs irréductibles s'écrit $$Q=\prod^n_{i=1}(X-\alpha_i)^{m_i}$$
Alors la fraction rationnelle \(F\) s'écrit de façon unique sous la forme : $$F=E+\sum^n_{i=1}\sum^{m_i}_{k=1}\frac{\lambda_{i,k} }{(X-\alpha_i)^k}$$ où la partie entière \(E\in{\Bbb C}(X)\) est un polynôme nul de degré \(\deg(P)-\deg(Q)\), et où pour tout \(1\leqslant i\leqslant n,1\leqslant k\leqslant m_i,\lambda_{i,k}\in{\Bbb C}\)
(Nombre complexe)
Théorème de décomposition en éléments simples dans \({\Bbb R}(X)\) :
Soit \(F=\frac PQ\in{\Bbb R}(X)\) et supposons que la décomposition du polynôme \(Q\) en facteurs irréductibles s'écrit $$Q=\prod^n_{k=1}(X-\alpha_k)^{m_k}\times\prod^p_{i=1}(X^2-b_iX+c_i)^{\ell_i}$$
Alors la fraction rationnelle \(F\) s'écrit de façon unique sous la forme : $$F=E+\sum^n_{i=1}\sum^{m_i}_{k=1}\frac{\lambda_{i,k} }{(X-\alpha_i)^k}+\sum^p_{j=1}\sum^{\ell_j}_{r=1}\frac{\mu_{j,r}X+\delta_{j,r} }{(X^2+b_jX+c_j)^r}$$
Où la partie entière \(E\in{\Bbb C}[X]\) est un polynôme nul ou de degré \(\deg(P)-\deg(Q)\), et où pour tout \(1\leqslant i\leqslant n,1\leqslant k\leqslant m_i,\lambda_{i,k}\in{\Bbb R}\) et pour tout \(1\leqslant j\leqslant p,1\leqslant r\leqslant \ell_j,\mu_{j,r},\delta_{j,r}\in{\Bbb R}\)
(Réel - Nombre réel)